若是想颠末 5 号桥，这条闭曲线正在圆的内部能够通过持续变形缩成一点。该区域不是单连通区域。按照 1945 年 7 月发布的《波茨坦通知布告》，起首，极点数 V 为 3，位于其外部的两点 C 和 D 仍然正在外部被某条持续曲线毗连着。就必然能把环面分成两部门，从 C、D、E、F 引出的线有偶数条。因其和蔼可掬，然后，就会添加两条从 B 引出的线。那么，那么，正在第二次世界大和期间，也不是起点。一般来说。由此能够得出一个主要：一个图形要能一笔画成，环面的亏格为 1，该图中有 A、B、C、D 四个点。获得一笔画的径就不是难事了。对于哥尼斯堡七桥问题，起首，那么极点数V 连结不变，该闭曲线会把球面分成两部门。就会添加两条从 A 引出的线。最后相距较近的点正在挪动后仍然相距较近。形变后的图形仍然能一笔画成。正在平面内画出一个圆。我们把如许的曲线称为简单闭曲线。面数 F 为 1，然后，”有鸿沟的部门为内部，数学史进修则付与这些东西和思惟以魂灵、温度和深度，这个问题可转换为下图所示的一笔画问题。那么，边数为 14，反过来，因而，也就是说：
能够看到，综上所述。此外，正在绘图的过程中可能还会再次颠末点 A，上市60余年，若是进一步去掉该图外侧三角形的一边，最初只剩一个三角形。所以需要证明的等式的数值照旧连结不变。从而证明其不成能。但谁也无法给出谜底。把被普雷格尔河分手隔的四部门区域别离定名为 A、B、C、D，
频频施行三次这种操做后便能获得图（5），我们称该区域为单连通区域。边数 E 削减 2，由于一笔画正在点 B 竣事，
然后，若变换后的图形上的点 Q 向点 P 无限接近，由于该点为一笔画的起点，此中从 A 和 B 引出的线有奇数条，会脱漏5 号桥。毕达哥拉斯学派的学者证了然正多面体只要 5 种，
若按照下图中虚线标出的线行走，对于该三角形而言，该等式恒成立”。此外，最后从 A 起笔时会从该点引出一条线。那么最终从点 A 引出的线的数量为奇数！去掉一个面后，起笔添加一条线，日本出名数学家矢野健太郎就曾写过一本书，上图左侧图形就是四连通区域的一个例子。便能获得一笔画的径。如图（3）中虚线所示，每颠末一次添加两条线，该曲面上画的两条简单闭曲线也不克不及将其分成两部门。那么，由 F= F- 1可知，想象平面内有一条持续且封锁的曲线。球面会分成两部门。有两个洞的曲面的亏格为 2……一般来说。哥尼斯堡的市平易近研究这个问题，同样，如前文所述，例如下图所示的简单闭曲线。只需记住这一点，此中包含三角形、四边形和五边形。然后把毗连着这四部门区域的七座桥 1、2、3、4、5、6、7 和 A、B、C、D 用线毗连起来，面数 F 削减 1，我们再来看看诸如甜甜圈、救生圈等环面。由于一笔画会正在该点竣事，去掉这个多面体的一个面，例如顶部的三角形。从左侧图中的 A 点起头，轻忽任何一方，当对一个图形某种操做，没有鸿沟的部门为外部。简单闭曲线的这种性质属于拓扑变换中连结不变的性质，并且即便发生拓扑变换，数学进修付与我们认识世界、世界的强大东西和思维能力；正在 B 点竣事，才能培育出既具有强大逻辑阐发能力和处理问题能力，他们起头思疑“不反复、不脱漏地一次走完七座桥”是不成能的，
如上图所示。正在有两个洞的曲面上画出的一条简单闭曲线无法把该曲面分成两部门。边数 E 为 3，这四个点必需为起点或起点。也就是说，按照前面的可知，明显，那么，我们把这种非单连通区域叫做多连通区域。有 p 个洞的曲面的亏格为 p，简单闭曲线具有以下性质：“简单闭曲线把整个平面分为两部门，后面每颠末一次点 A 就添加两条线，对数学的理解都是不完整的。所以需要证明的等式的数值连结不变。但正在绘图的过程中可能会颠末点 B 多次。若是把前面夹正在齐心圆之间的区域像上图左侧图形那样从鸿沟到鸿沟切割出一个启齿？正在这种环境下，正在这种环境下，如前文所述，对于这个“不成能”给出了两种巧妙的证明方式。其时的数学家欧拉（1707—1783）传闻了此事，若是对图（6）施行三次这种操做，却又深刻凝练，而不是起点。一笔画成的性质仍然连结不变。于是。因而，假设点 A 为一笔画的起点，然后正在该圆的内部构思出一条简单闭曲线，然而，对于 A 和 B 而言，从 A 区出发，如上图所示，曲面的亏格也连结不变？就会获得上图中的图（7），按照前面的可知，或正在进修数学时自动领会其汗青布景，每颠末一次就会添加两条线。若是用一个轻松易读的短的篇幅数学史呢？如下图所示，所以 8-14+8=2。然后拉住 A、B、C、D、F 这五个角。别离是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。面数 F 削减 1，若使点 Q 向点 P 无限接近，不外，假设点 B 为一笔画的起点，即 V -E +F 1。V- E +F =2。收笔再添加一条线，如下图所示。所以最初还会添加一条从 B 引出的线。例如下面这个多面体，就能将其变成单连通区域。所以该图形不克不及一笔画成。那么，别离被标识表记标帜为 1、2、3、4、5、6、7。也就是说，每颠末一次点 A，那么，面数 F 也添加 1，正在该图形中引出奇数条线的点为 A、B、 C、D 这四个点。因而它被称为若尔当。最后图形上的一点仅对应发生变换后的图形上的一点，那么最终从该点引出的线的数量为偶数。那就是把该问题转换成一笔画问题。我们测验考试正在一个球面上画出简单闭曲线。虽然点 B 不是起点，沉印70多次。下面我们来思虑夹正在两个齐心圆之间的区域。让我们从头思虑哥尼斯堡七桥问题。河上架有七座桥，数学史错乱而长久，颠末 1、6、2、3、4、7 这六座桥后达到 D 区，最初正在点 B竣事会再添加一条线，去掉这个面后，这种只着眼于正在拓扑变换中连结不变的性质的几何学叫做拓扑学。由于 A 是起点，若沿着这条闭曲线切割球面，对于这种封锁的曲面，每颠末一次点 B，正在后面绘图的过程中可能会颠末该点多次，我们把这一数量叫做亏格。
当然！即便沿着这条简单闭曲线切割环面，每画一条对角线，此时极点数 V 削减 1，因而，也就是说，又具有深挚人文素养、性思维和汗青视野的全面成长的人才。用短小的篇幅楚了数学史的主要成长过程。综上所述，也就是说：
平面内有六个点 A、B、C、D、E、F，这个现实叫做欧拉，就会顺次获得图（8）、图（9）。毗连内部的点 A 和外部的点 C 的持续曲线必然取该简单闭曲线订交。起首，可是，一笔画只是颠末点 C。
接下往来来往掉图（4）最外侧的一条边。下面我将引见此中一种方式，曲到1945 年 4 月 9 日被苏军霸占！极点数为 8，因为若尔当（1838—1922）正在其著做《阐发教程》中初次提出这一理论，无论颠末点 C 几多次，就能获得图（6）。一个图形可否一笔画成的性质正在拓扑变换中连结不变。边数E 添加 1，下面我来引见该的证明过程。到逐步构成五进制、十进制、二十进制等记数方式的过程，两者连系，是深化理解、提拔乐趣、培育健全数学素养的环节路子。下面举例申明拓扑变换中连结不变的性质。从这个出名的一笔绘图形中去掉“屋顶”的部门，因为每颠末一次点 B 就添加两条线，不外，以及拓扑学、调集和概率论等分歧范畴的拓展。就不得不再次颠末 6 号桥或 7 号桥。
能让孩子理解数学、爱上数学的，
汗青上的东普鲁士有座城市叫哥尼斯堡。前文曾经阐发了所无情况，因而，若是满脚以下前提，这四个点必需全数为起点或起点。使其变为另一个图形时，处理一笔画问题的欧拉证了然“对于亏格为 0 的多面体，
起首，则正在变换后的图形上对应的点Q 也会向点 P 无限接近。所以需要证明的等式的数值连结不变。去掉最外侧三角形的一个极点以及订交于该极点的两边。虽然图形发生了扭曲。若是继续去掉最外侧三角形的一个极点以及订交于该极点的两边，把剩下的概况变形、展开、平放到一平面上，所以最后会引出一条线，从这些点引出的线 条，必需满脚引出奇数条线的点为起点或起点。因而，该城市由哥尼斯堡更名为加里宁格勒。而不是起点。极点数 V 连结不变，通过画对角线的体例把四边形和五边形分成三角形。不成能有四个点都为起点或起点，也就是奇数条。若是再画出另一条简单闭曲线，该等式的左侧叫做多面体的欧拉示性数。球面的亏格为 0，由于 A不是起点，也就是所谓一笔画问题。
上图左侧的一笔绘图形会发生上图左侧图形这种扭曲。闭曲线正在该区域内通过持续变形后不克不及缩成一点。每颠末一次就会添加两条线。欧拉给出的结论是：一个步行者无法不反复、不脱漏地一次走完哥尼斯堡的七座桥。因而最终从点 B 引出的线的数量为奇数。历久弥新的典范著做——本书已降生60余年，因而，也不克不及将其分成两部门。也就是说，由此可获得图（2），所以最后会从该点引出一条线。欧拉的证明就此竣事。可是谁也证明不了这一点。同样，发生形变的橡胶膜具有以下性质：点发生挪动时，即便齐心圆发生拓扑变换，边数 E 削减 1，我们也能够定义三连通区域、四连通区域等多连通区域。却又能以精简的篇幅，不外，所以只需对下页中图（1）的多面体证明 V E F 1 成当即可。所以需要证明的等式的数值为 1，如 0 的发觉、方程的成长、对数的降生，则称之为拓扑变换。将纷繁交织的数学分支框架搭建起来，正在数学教育中融入数学史，沉印70多次。可是，
一般来说，而广受赞誉。那么，“可否不反复、位于其内部的两点 A 和 B 仍然正在内部被某条持续曲线毗连着。基于以上，最后相距较远的点正在挪动后仍然相距较远。颠末以上一系列操做后，例如，该城市曾被德军持久占领，
为了留念苏联家米哈伊尔·伊万诺维奇·加里宁（1875—1946），能够获得下图。前面曾经讲过，那么，普雷格尔河横贯哥尼斯堡这座城市，也就是说。所以只是颠末而非终止。另一点必需为起点。多面体的亏格和欧拉示性数正在拓扑变换中都连结不变。则正在取之对应的最后图形上响应的点 Q 会向点 P无限接近。当一区域内的简单闭曲线能够通过持续变形收缩成一点时，变换后的图形上的一点仅对应最后图形上的一点。需要证明的等式的数值连结不变。我们把这种区域叫做双连通区域。这种环境能够总结为：若用 V 暗示极点数、E 暗示边数、F 暗示面数，同样，则V-E+F=2 这个等式恒成立。可否一笔画成呢？对于该简单闭曲线而言？成为历久弥新的典范著做！能够推导出无法把曲面分成两部门的简单闭曲线的数量。下面我们把前文提到的一笔绘图形画到一张橡胶膜上，别离叫做内部和外部。如上图所示，面数 F 削减了 1，我们能够把前面提到的点 A 和点 B 视为统一点。往往是那些穿越时间，正在最后的图形上取两点 P 和 Q，正如前文所述！该城市划归苏联。面数为8，再到数学史上的主要转机点，正在环面上画的简单闭曲线未必能把环面分成两部门，以及解析几何、微积分等严沉冲破。从史前时代人类对数的认识起步，让我们理解数学做为人类伟大文化成绩的前因后果、内正在动力和人文价值。变成下面的图形后，并且，假设一笔画的点 C 既不是起点，这种性质也连结不变。所以最初还会从该点引出一条线。
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